О движении квадратично нелинейного осциллятора с сухим трением
Аннотация
Работа посвящена выводу и апробации формул для вычисления перемещения осциллятора и определения длительностей полуцикл колебаний в условиях сухого трения. Вывести точное рекуррентное соотношение для вычисления размахов затухающих свободных колебаний в условиях действия сухого трения возможно без построения решения дифференциального уравнения движения, если использовать энергетический метод. Но определение перемещений осциллятора во времени требует развязку дифференциального уравнения движения.
В работе Описаны свободные затухающие колебания осциллятора с симметричной квадратично нелинейной силовой характеристикой, имеет линейную составляющую. Причиной колебаний служит первоначальное отклонение системы от положения статического равновесия, а их затухание является следствием действия силы сухого трения. Рассмотрен варианты жесткой и мягкой упругих характеристик. Для обоих из них построено точные решения уравнения движения. В итоге перемещения осциллятора во времени выражено через эллиптические функции Якоби. Продолжительность четверть и полуцикл выражено через эллиптический интеграл первого рода, требует использования таблиц этих специальных функций. Приведены также приближенные формулы для вычисления значений эллиптических функций, где их сведено к вычислений элементарных функций. Проведение сравнения числовых результатов, полученных с помощью аналитических решений и численным интегрированием исходного дифференциального уравнения движения на компьютере. Выявлено малые различия в значениях перемещений, обусловленных приближенным вычислением эллиптических функций. Погрешности реализации аналитических решений связанные с приближенным вычислением функции Якоби. По итогам сравнения числовых результатов подтверждено вероятность выведенных расчетных формул относительно перемещений и длительностей полуцикл, зависит от размаха колебаний.
Установлено, что дифференциальное уравнение свободных колебаний осциллятора с квадратично нелинейной силовой характеристикой и сухим трением имеет точные аналитические решения, выражающиеся через эллиптические функции Якоби, а полученные приближенные решения имеют достаточно хорошую согласованность с численным интегрированием уравнений движения на компьютере.
